Autorreferencia, Distinciones y Tiempo por George Spencer-Brown

Las relaciones más fundamentales en matemáticas, sus leyes más fundamentales, no son numéricas

 

por George Spencer-Brown [i]

University of Cambridge

 

George Spencer-Brown (1923-2016)

En un comienzo, habiendo dejado el mundo académico e ido a vivir en Londres, me convertí en ingeniero. Y me instruí en la fabricación de circuitos para uso de elementos de los nuevos transistores que iban a ser fabricados para computadores de propósitos especiales. Era empleado en una firma entonces conocida como Mullard Equipment, Ltd., una rama de la organización Phillips, y no estaba contratado debido a alguna calificación como ingeniero sino debido a que había enseñado lógica en Oxford y a que, de hecho, se reconocía que el estudio de la lógica de una forma u otra era necesario para diseñar circuitos que involucraban ‘interruptores’ (switches) de encendido y apagado (on-off). Así comencé con la tarea bastante específica de aplicar lo que sabía en estos circuitos, para ver si podíamos idear reglas en su diseño que ahorrarían dinero.

Rápidamente descubrí que la lógica que había aprendido en la Universidad y la lógica que había enseñado en Oxford no eran ni cercanamente suficientes para proveer las respuestas requeridas. Las preguntas lógicas en los artículos de grado de la universidad eran simples niñerías comparadas con las preguntas que tenía que responder, y responder correctamente, en ingeniería. Teníamos que inventar maquinaria que no sólo involucraba su traducción en sentencias lógicas de hasta doscientas variables y mil constantes lógicas – Y’s, O’s, Implicaciones, etc. – no sólo tenía que hacer esto, sino que también debían ser tan simples como fuera posible para hacerlas económicamente posibles de construir – y además, ya que en muchos casos eran vidas las que dependían de hacerlo correctamente, tenía que asegurarme de que se hiciera de esa manera.

 

Los valores imaginarios de la forma

Por ejemplo, una máquina que mi hermano y yo construimos, la primera máquina que mencioné en Laws of Form [ii], sirve para el uso de lo que hasta entonces era desconocido en la lógica conmutacional (switching logic): sirve para usar valores imaginarios en el sistema de conmutación (switching system). Mi hermano y yo no conocíamos lo que eran en esa época, ya que nunca se habían usado. En ese entonces no los habíamos equiparado (equate them) con los valores imaginarios en el álgebra numérica. Ahora sabemos lo que eran. Pero estábamos absolutamente seguros de que funcionaban y eran confiables, porque podíamos ver cómo funcionaban. De cualquier manera, no dijimos a nuestros superiores que usábamos algo que no estaba en ninguna teoría y que no tenía justificación teórica alguna, porque sabíamos que, si lo hacíamos, no sería aceptado, y deberíamos construir algo más costoso y menos confiable. Así que simplemente dije: «Aquí esta, funciona, está OK.», y la British Railways lo compró, lo patentamos, y el primer uso para esto fue contar las ruedas de los vagones. Tenía que contar hacia adelante y hacia atrás, y teníamos una al final de cada túnel. Cuando un tren se dirigía hacia el túnel, las ruedas del vagón eran contadas, y cuando este volvía, también eran contadas. Si el conteo no coincidía, se activaba una alarma, y a nadie se le permitía ingresar en el túnel – al menos, no muy deprisa.

No sólo tenía que ser un contador muy confiable, sino que debía contar hacia delante y hacia atrás, porque – ya saben lo que pasa cuando uno sube a un tren: avanza y luego se detiene, entonces retrocede por un poco y avanza. De tal manera, si el tren tenía sus ruedas contadas, y luego, por alguna razón, se quedaba parado sin vapor y luego retrocedía, entonces el contador tenía que ir hacía atrás. Así que teníamos todo esto – pero lo habíamos hecho de una forma mucho más simple, y por su simpleza mucho más confiable que los contadores usados en ese entonces, que costaban mayor equipamiento, muchas partes más. Este invento fue patentado. El agente de patentes de la British Railways, quien lo patentó –por supuesto, nunca le dijimos lo que estaba escribiendo. Sólo le dijimos que lo escribiera. Y funcionó, ha sido usado desde entonces, y aunque hubieron muchos desastres en la British Railways desde aquella época, ninguno ha consistido de algún tren corriendo en un túnel desenganchado de su vagón. Dedos cruzados, toco madera.

Hicimos muchos otros inventos, y durante esta época me di cuenta de que, desafortunadamente, sería necesario para alguien escribir las bases matemáticas de los nuevos principios que estábamos usando. Me di cuenta que si no hacía esto, sería muy difícil encontrar alguien que lo hiciera. Así que empecé a escribir.

Después de haber usado los nuevos principios por cerca de un año, la mayoría de los descubrimientos se habían hecho. No estaba muy seguro de las bases teóricas de algunos de ellos. Por ejemplo, darnos cuenta de que lo que estábamos usando en el túnel eran valores Booleanos imaginarios para conseguir una respuesta perfectamente segura y confiable respuesta, que era bastante definitiva –de esto no me di cuenta durante otros seis años. Pero de la mayoría de los principios, para esa época, ya me había dado cuenta. Eran las bases matemáticas de lo que estábamos usando, que era álgebra conmutativa (switching álgebra), comúnmente llamada álgebra Booleana y el álgebra de la lógica.

 

Matemática numérica y matemática Booleana

Debo señalar enfáticamente en este momento que el uso de la conmutación (switching use) y el uso para verificar (checking) un argumento lógico son dos aplicaciones completamente diferentes de la misma matemática. La misma matemática subyace a ambas, pero no es la misma en cualquiera de sus interpretaciones. En otras palabras, las matemáticas en Laws of Form no son lógicas, la lógica es una de sus variadas interpretaciones. Así como, cuando se hace electrónica, la aplicación eléctrica no es en sí misma la matemática sino una de las interpretaciones de las matemáticas.

La lógica, en otras palabras, no es en sí misma matemática, es una interpretación de una rama particular de las matemáticas, que es la rama no-numérica más importante de las matemáticas. Hay otras ramas no-numéricas de las matemáticas. Las matemáticas no se tratan exclusivamente de números. Las matemáticas se tratan, de hecho, del espacio y relaciones. Un número entra en las matemáticas sólo como una medida de espacio y/o relaciones. Y las primeras matemáticas no son sobre números. Las relaciones más fundamentales en matemáticas, sus leyes más fundamentales, no son numéricas. La matemática Booleana es anterior a la matemática numérica. La matemática numérica puede construirse de la matemática Booleana como una disciplina especial. Esta última, es más importante, usando la palabra en su sentido original: lo que es importante y es que es importado. Lo más importante es, por lo tanto, lo interno, lo que es más adentro. Porque es importado de más lejos. La matemática Booleana es más importante que la matemática numérica simplemente en el sentido técnico de la palabra «importante». Es interna, anterior a, las matemáticas numéricas –es más profunda.

 

El cálculo de las distinciones

Ahora, a principios de 1961, fines de 1960, habiendo emprendido el viaje, primero que todo, como un ejercicio de lo que pensaba que era la lógica, comencé a escribirlo. Me di cuenta de que no encajaría. Lo retomé. Lo retomé yendo más y más atrás hasta que lo entendí de nuevo, lo que habíamos estado trabajando en ingeniería y los principios de esta, volviendo a los fundamentos más simples y las proposiciones más obvias acerca del fundamento que había construido. A fines de 1961, tomé conciencia de que toda esta palabra matemática podía llevarse hasta el más simple de los fundamentos, y los fundamentos eran solo trazar una distinción. La definición de una distinción fue una separación respecto a otro: eso es todo lo que necesitaba.

Esto era todo lo que necesitaba para completar la construcción que detallado en Laws of Form, y que será suficiente para toda el álgebra conmutativa (switching álgebra), enrutamiento de tren, condiciones de apertura/cierre, teoría de decisión, disposiciones de feedback, sistemas auto-organizados, automatización –y, de manera divertida, la lógica por medio de la cual argumentamos, la lógica que es la base de la certeza de los teoremas matemáticos. En otras palabras, las formas de los argumentos que se aceptan como válidos en la prueba de un teorema en matemáticas. Para darles uno simple: «si x implica no-x, entonces no-x». Ese es un argumento usado comúnmente. Se puede asegurar que es válido por los principios de las mismas matemáticas que le subyacen.

Los argumentos usados para validar los teoremas en Laws of Form, como empezamos a ver ahora, son validados en sí mismos por el cálculo del cual dependen esos teoremas. Sin embargo, de ninguna manera es el argumento una petición de principio [iii]. Ahora esto es bastante difícil de entender, y tal vez pueda surgir en la discusión posterior. Petitio principii, petición de principio, no es un argumento válido; es una falacia común. De ninguna manera se solicita el principio, sino al producir un sistema, al hacer que sus últimas partes se hagan realidad, las usamos para validar las partes iniciales; y así el sistema surge de la nada y se levanta a sí mismo por sus propias riendas (bootstraps), y así existe todo.

En ningún otro lado esto se hace más evidente que en este primer y más primitivo sistema de la matemática no-numérica; y estoy bastante seguro –no, no diré que estoy bastante seguro, cuando se dice «estoy bastante seguro» significa que uno no esta muy seguro– y supongo que por eso es una rama de las matemáticas tan descuidada hasta ahora pues resulta un tanto demasiado real. Es un tanto demasiado evidente a qué juego estamos jugando cuando se juega al juego de las matemáticas.

Si uno comienza mucho más lejos del centro, entonces no se ven las conexiones de lo que se está haciendo. No ve que lo obtenido depende de lo que se ponga. (…) De hecho, cuando se forma el comienzo, no hay nada que aprender. Existe todo por desaprender, pero nada por aprender.

 

El primer espacio y el primer tiempo

(…)

Es parte de la disciplina matemática que lo que no está permitido está prohibido. Es decir, lo que no se introduce, no se puede usar; y hasta que no se halla introducido forma, tamaño, duración, distancia, no se puede usar.

Al principio de Laws of Form, definimos estados sin ningún concepto de distancia, tamaño, forma –sólo de diferencia. Por lo tanto, los estados en Laws of Form no tienen tamaño, forma, ni nada más. No están ni cerca ni lejos, como los estados celestes. Simplemente no hay cualidad de esa clase que haya sido introducida. No es necesario.

Lo mismo con el primer tiempo. El primer tiempo se mide por una oscilación entre estados. El primer estado, o espacio, es medido por una distinción entre estados. No existe un estado para el cual se haga una distinción. Si una distinción pudiera ser hecha, entonces debería crea un espacio. (…) El espacio sólo es una aparición. Es lo que debería haber si hubiera una distinción.

De manera similar, cuando eventualmente llegamos a la creación del tiempo, el tiempo es lo que debería existir si pudiera haber una oscilación entre estados. Incluso en la última física, una cosa no es más que su medida. Un espacio es cómo este fue medido; de manera similar, el tiempo es cómo este fue medido. La medida del tiempo es cambio. El único cambio que podemos producir –cuando sólo tenemos dos estados– es el cruce de uno al otro. Si producimos una expresión, como las expresiones ordinarias en el álgebra, tenemos que hacer el cruce. Tenemos que hacer algo acerca de esto. Tenemos que operar desde el exterior. Si producimos ese cruce que se alimenta a sí mismo, ahora no tenemos nada que hacer. Es un reloj, justo como una distinción ordinaria es una regla. Una regla hace o define un espacio, y un reloj define el tiempo. Al hacer nuestra primera distinción, todo lo que hemos hecho es introducir la idea de distinción. No hemos introducido nada más. Ninguna idea de tamaño, forma, distancia, y así. No existen, no aquí. Pueden ser construidas, y lo serán, pero no aún. Son lo que pasa cuando se alimenta el concepto de vuelta a sí mismo suficientes veces.

Otra vez, cuando usted construye el tiempo primero, todo lo que esta definiendo es un estado que, si es un estado, es otro. Justo como un reloj, si es tick, por lo tanto es tock. Pero esta vez es el más primitivo de todos de los tiempos, ya los intervalos no son ni cortos ni largos; no tienen duración, igual que estos estados no tienen tamaño. (…) En orden a tener tiempo como el que uno experimenta, tiene que ponerlo de vuelta sobre sí mismo, porque en nuestro tiempo se tiene duración, que se puede medir; y sólo se puede medir la duración con otro tiempo. En el primer tiempo, no se tiene tiempo con el cual medir que tan larga es la duración, y naturalmente no se tiene ninguna duración. El tiempo es algo que se tiene que alimentar de vuelta en sí mismo muchas veces. Como el espacio de este cuarto, donde se puede actualmente medir – se tiene que tener espacio para medir el espacio. (…) No hay tiempo en la lógica, ya que no puede haber tiempo sin una ecuación auto-referencial, y por la regla de los tipos, que ahora esta en operación en la definición de la lógica corriente, el feedback no es permitido. Por lo tanto todas las ecuaciones en la lógica son atemporales.

Gregory Bateson: Así que adicionamos secuencias sin adicionar duración.

George Spencer-Brown: Si se hace un feedback, que Russell y Whitehead no permiten, se tiene una cosa que si es, no es.

Hombre: un circuito paradójico.

Spencer-Brown: Un circuito paradójico, si. Al poner esto en esta forma, esta es la matemática de esta. Puedo ponerlo en matemática numérica, es la misma paradoja. Haga algo auto-referencial, esta es o recordada u oscila. Es o lo que fue antes o es lo no fue antes, lo que es la diferencia entre memoria y oscilación.

(…)

Wittgentein señalo en el Tractatus que una tautología, una proposición que es verdadera por la naturaleza misma de su forma –«Si A, entonces B; y A; por lo tanto B»– . Todas las tautologías dicen la misma cosa, es decir, nada. Dicen no una cosa. Lo que él se perdió fue el otro fin de este continuum, el otro fin de la contradicción, que lo dice todo. Se puede decir todo acerca de esto sin contradecirse a sí mismo.

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[i] [N. del E.] Traducción de Hjalmar Newmark. Publicación original: Spencer-Brown. G. (1993). Selfreference, Distinctions and Time. Teoría Sociologica, I/2, 47-53. Revisión de Dusan Cotoras y Felipe Pérez-Solari. Como Sistemas Sociales agradecemos enormemente la confianza del Prof. Newmark para publicar tan importante texto.

[ii] Recodamos nuestra entrada sobre las leyes de la forma de Spencer-Brown, la cual pueden consultar aquí.

[iii] Sobre la falacia del petitio principii aquí.

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